巴塞尔协定

巴塞尔问题(Basel problem)的多种解法——怎么计算$frac{1}{1^2}
更新时间:2019-10-29 04:51 浏览:164 关闭窗口 打印此页

  我们可以知道c_{n,N}\le1/(N-n+1)由于这个交错和加了后比第一项要小,也即

  ? 这个问题是在1644年由意大利数学家蒙哥利(Pietro Mengoli)提出的,而大数学家欧拉于1735年第一次解决了这个问题。他得出著名的结果:

  是由于在重排级数的同时,奇数项消去了而偶数项留下了,所以我们就得到如下式子:

  D中所有点有领域使\log(z)的分支解析.由于这个级数在z=1之外一致收敛,R(z)在D上解析.这里有几个Claim:

  sin(x)x=(1−xπ)(1+xπ)(1−x2π)(1+x2π)(1−x3π)(1+x3π)⋯=(1−x2π2)(1−x24π2)(1−x29π2)⋯.(PS:欧拉似乎没有证明这个无穷积,直到100年后魏尔斯特拉斯得到了他著名的“魏尔斯特拉斯分解定理”(Weierstrass factorization theorem,详情可见wiki相应条目)。利用这个方法得到函数时要特别小心,我以前看到的一个反例就可以说明这个问题)从而我们对这个无穷乘积的

  由于左边是实数,右边是纯虚数,从而只能两边都为0,即\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6},这还给了我们一个副产品,就是

  ∞∑k=11k2=π26解决这个问题的方法在近代不断涌现。这里我从各处摘抄到一些方法,列举在此,仅供大家参考。

  欧拉的证明是十分聪明的。他只是将幂级数同有限的多项式联系到了一起,就得到了答案。首先注意到

  ζ(2n)的方法。这似乎是这个问题最“初等”的一个证明了,只需要知道三角函数相应知识就能够完成。我们先证明一个恒等式:

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